国家公务员

错位重排是排列组合中的模型之一，这个模型有个非常有意思的来源，源于著名数学家伯努利欧拉提出的“装错信封问题”。若干信纸与信封原本是一一对应的，一般人思考的自然是如何把信纸正确地装入对应信封，然而数学家思考的却是信纸全都装错信封会有多少种情况。

那么此时我们来思考一下信纸全都装错信封会有几种情况。如果我们有一张信纸对应一个信封，没有其他选择，信纸只能装入正确的信封，所以装错信封的情况为0种，记为

如果我们有两张信纸和两个信封，信纸①要装错只能装进信封②，而信纸②就只能放进信封①，这是一种情况，且没有其他情况了，记为

若是三张信纸和三个信封呢?信纸①装错有两种选择即装入信封②或③，假设信纸①装入信封②，信纸②可以装入信封①和③，但是我们会发现信纸②装入信封①时，信纸③只能“正确”地装入信封③，不符合全都装错的情况。所以只能是信纸①装入信封②，信纸②装入信封③，信纸③装入信封①。如图1所示。

同理我们可以得到另一种情况：信纸①装入信封③，信纸②装入信封①，信纸③装入信封②，两种情况记为

如图2所示。到这里应该能理解错位重排的核心了，就是把原本对应的全都打乱能有几种排列情况。

以此类推我们还可以得到

。同学们需要能够理解并且记住 如果遇到数字比较大的错位重排时，可以使用 推得。在题目中遇到错位重排可以直接使用已知的数字或者通过模型推导。

下面我们来做两道练习题：

例1a、b、c、d四台电脑摆放一排，从左往右数，如果a不摆在第一个位置上，b不摆在第二个位置上，c不摆在第三个位置上，d不摆在第四个位置上，那么不同的摆放共有( )种。

A.9 B.10 C.11 D.12

【答案】A

【中公解析】此题直接地考查错位重排。若我们把四台电脑按顺序分别对应到四个位置，那么题干所要求的就是电脑都不能摆放在原来对应的位置上，考查的就是错位重排，可得

。若不记得 也可以通过 推得。

例2编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里，每个盒子放一个小球，其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有( )种。

A.9 B.35 C.135 D.265

【答案】C。

【中公解析】此题综合考查排列组合。6个小球对应6个盒子，恰有2个小球对应2个编号相同的盒子，那么其他4个小球都不能对应。包含分步的过程，先选2个小球编号与盒子对应，

，剩下4个错位重排 分步相乘15×9=135。